测不准原理究竟是什么意思？
当你听到量子力学（quantum mechanics）中有个测不准原理，会不会感到十分迷惑？例如有人就曾问我，测不准原理是不是意味着我国的导弹会打不准？后边大家就会明白，答案是几乎没有影响。
这个原理究竟是怎么来的呢？经常见到的一种说法是类似这样：要测量一个体系的某个性质，就需要测量仪器跟这个体系发生相互作用。
对于宏观物体，测量仪器可以做得比这个物体小得多，所以对这个物体的干扰可以忽略不计。
但对于微观体系，测量仪器的大小会跟这个体系处于同一量级，甚至比待测体系还大。
例如要确定一个电子的位置，你至少也要发一个光子过去，而一个光子就会对电子的位置产生很大的扰动，所以你无法测得精确的位置。
这种说法对不对呢？其实，这属于典型的似是而非。
测不准原理的提出者海森伯（Werner Karl Heisenberg，1901 - 1976）就经常这样表述，但即使如此它也是错的。
它最糟糕的地方，就在于让读者以为测不准是由于测量仪器的限制。
那么读者立刻就会想到，改进仪器就有可能突破这种限制。
实际上，测不准是待测体系本身的性质，所以无论怎么改进仪器都不能改变它。
这话听起来很难理解，是吧？我们后边会来详细解释它。
再来看看推翻测不准原理的努力。
这个原理最常见的表述方式之一，就是一个体系的位置和动量不能同时测准。
这话听起来十分怪异，所以我见过很多人、很多书、很多文章，力图论证测不准原理是错的。
最常见的论证方式，就是设计某种测量方法，认为按照这种方法就能同时确定一个体系的位置和动量。
我可以在这里给个结论，所有这种论证都是错的。
如果你仔细去找，总是可以找到这些测量方法的某种缺点，导致它不能达到目的。
不过在这里我并不打算逐个去分析这样的例子，因为完全没有必要。
看到后边你就会明白，这就好像所有的永动机设计方案都是错的，因为永动机这个目标违反能量守恒定律，所以你不用挨个仔细看，就能知道它们是错的。
到这里为止，我们说了一堆对测不准原理的错误理解。
那么正确的理解该是什么？正确的理解包括好几层。
第一层，测不准原理其实只是个俗称，这个原理的正规名称叫作不确定性原理（uncertainty principle）或者不确定性关系（uncertainty relation）。
看到这个名字，你是不是立刻就产生一个感觉：这个原理说的是待测体系本身的性质，而不是测量仪器的问题？有这个感觉就对了。
第二层，不确定性原理谈论的对象，是物理量的不确定度。
物理量为什么会有不确定度？这话对没有听过量子力学的人来说，可能比较难以理解。
但对看过我们前面几期文章的人来说，很快就可以明白：因为量子力学中的测量结果是概率性的。
让我们回顾一下，量子力学中的测量是怎么回事。
假如一个体系可以处于|0>和|1>两个基本状态（回顾一下，|>这个符号叫作狄拉克符号，用来表示量子力学中的状态），那么根据叠加原理（superposition principle），这个体系就可以处于|0>和|1>的任意线性叠加（linear superposition），即任意的a|0> + b|1>，其中a和b是两个数，对它们唯一的限制是|a|
2
|b|2
= 1。
然后，当我们要对这个体系做测量的时候，我们首先要选定一个基组（basis set）。
所谓基组，就是一组基本状态的集合，它们的线性叠加可以表示出这个体系允许取到的所有状态。
在这里，我们就取最简单的例子，即用|0>和|1>这个基组，对a|0> + b|1>这个状态做测量，那么结果是什么呢？
如以前的文章所述，结果是以|a|
2
的概率得到|0>，|b|
2
的概率得到|1>。
当然，如果a = 0，就会100%即确定地得到|1>，如果b = 0，就会100%即确定地得到|0>。
但这是特殊情况，在大多数情况下，a和b都不等于0，测量结果就是概率性的，两种结果都有一定的概率出现。
这个概率性，就是量子力学的本质特征，它是无法消除的。
再来回顾一下，一个物理量在测量之前总有个确定的值等着你去测，这是经典力学的世界观，但量子力学正是告诉我们，这个世界观是错的！
假如我们定义一个物理量X，它对|0>这个态取值为0，对|1>这个态取值为1，那么请问，对(|0> + |1>) / sqrt(2)这个叠加态，这个物理量的取值会是什么呢？你立刻就知道答案了，取值是不确定的，它会以一半的概率取到0，一半的概率取到1。
用稍微数学一点的语言说，测量结果是一个分布（distribution）。
我们可以事先预测这个分布，但无法预测单次测量的结果。
知道了这个分布，我们就可以定义X这个物理量的平均值（average value），或者叫作期望值（expectation value），往往用<X>来表示。
在这个例子中，期望值显然就是
<X> = 0
×
1/2 + 1
×
1/2 = 1/2
知道了期望值以后，又可以定义这个分布的方差（variance），它是这个物理量与自己的期望值的差的平方的期望值，即<(X - <X>)
2
，往往用Var(X)来表示。在这个例子中，就是
Var(X) = (0 - 1/2)
2
×
1/2 + (1 - 1/2)
2
×
1/2 = 1/4
再下一步，方差的平方根就叫作标准差（standard deviation），往往用
Δ
X来表示。
在这个例子中，就是
Δ
X = sqrt(1/4) = 1/2
实际上，标准差就是这个物理量的不确定度（uncertainty）。
现在大家明白了吧？只要一个物理量的测量结果是概率性的（这是非常常见的情况），它就会有个不确定度。
一大关键在于，只要给定了待测状态，这个物理量的不确定度就是可以事先算出来的，它跟测量仪器毫无关系。
并不是因为测量仪器不够准才导致不确定，而是因为待测状态就决定了测量结果是一个分布，由此导致不确定。
了解了物理量的不确定度之后，我们再来解释不确定性原理实际说了些什么。
它说的是，对于一个体系的两个物理量，它们的不确定度的乘积有个下限。
具体而言，对于两个物理量A和B的不确定度
Δ
A和
Δ
B，它们的乘积会满足
这个不等式的右边是什么？它其实是：
这个算符（operator）在待测状态中的期望值的绝对值除以2。
咦，什么叫作算符？我们稍后再来解释。
在这里，只需要明白一个基本点就够了：不确定性原理谈的不是一个物理量的不确定度，而是两个物理量的不确定度的乘积。
一个物理量的不确定度完全可以是0，因为有可能找到使它为0的待测状态。
但如果不等式右边那个值不为0，那么两个物理量的不确定度的乘积就不可能是0，无论你找什么样的待测状态都不行。
这就是不确定性原理告诉我们的惊人的事实。
上面这些论述，可能已经绕得你晕头转向。
来看一个具体的例子，你就清楚了。
不确定性原理最广为人知的例子，就是开头说的，一个体系的位置和动量不能同时确定。
实际上，对此严格的数学表述是Δ
x
Δ
p
≥
ħ
/2
其中
Δ
x是x方向坐标的不确定度，
Δ
p是（x方向）动量的不确定度，两者乘起来必然大于等于
ħ
/2。
这个
ħ
是什么呢？它叫作约化普朗克常数（
reduced
Planck constant
），等于普朗克常数
h
除以
2
π
，约等于1.0546
×
10
-34
J
·
s。
本来先发现的是普朗克常数，但在后来的理论推导中，人们发现
h
/2
π
非常频繁地出现，于是给它起了个名字约化普朗克常数，还给了它一个专用的符号
ħ
。
搞笑的是，由于
ħ
比h用得多得多，有时出现h的时候，我们还宁可把它写成2
πħ
，——倒反天罡了属于是！
了解了这些之后，来考虑考虑，
Δ
x
Δ
p
≥
ħ
/2
这个不确定性关系告诉我们什么？
它告诉我们很多东西。
例如对于一个
Δ
x = 0即位置完全确定的粒子，它的
Δ
p必然等于无穷大，即动量完全不确定。
而对于一个
Δ
p
= 0即动量完全确定的粒子，它的
Δ
x必然等于无穷大，即坐标完全不确定。
而对于某种中间状态，例如氢原子中的电子，它的
Δ
x和
Δ
p都不等于0，把实际的值代进去，你会发现它们的乘积确实大于
ħ
/2这个下限，不过相差不多，处于同一量级。
根据这个原理还可以估算氢原子的半径，然后会发现确实跟实际值（约为0.529
Å
，1
Å
等于10的-10次方米）处于同一量级。
一个有趣的问题是，把这个原理用到宏观物体上，会怎么样？答案是几乎没有影响。
例如对于一粒肉眼看不见的微尘，直径约为1微米（即10的-6次方米），质量约为10的-12次方克，速度约为0.1厘米每秒，那么它的动量约为10
-18
kg
·
m
·
s
-1
。
再假设对它的位置测量达到一个极高的精度，10的-10次方米，即相当于一个氢原子的直径。
那么请问，它的动量不确定度等于多少？按照不确定性关系，会得到
Δ
p
≈
ħ
/
Δ
x
≈
10
-24
kg
·
m
·
s
-1
由此得到的动量相对误差
Δp / p ≈ 10-6
这仍然是一个非常小的相对误差，实验上都很难达到。
这还是对于一粒微尘，随着物体质量的增大，动量的绝对值会变得更大，动量的相对误差会变得更小，所以对于宏观物体，不确定性原理几乎不产生任何影响。
这就是为什么，我们不需要担心我国的导弹打不准！
因此，不确定性原理是一个对微观非常重要、对宏观非常不重要的原理。
了解到这一层，你就超过了99%的人。
那么，不确定性原理是怎么来的呢？许多书籍和文章大谈它的哲学意义，让许多人产生一个感觉，好像它是个基本原理，从天上掉下来的。
但其实完全不是这样，不确定性原理是一个定理。
是的，所谓测不准原理其实是一个定理。
如果你知道这一点，你就超过了99.9%的人。
这个定理是怎么证明的呢？可以参见任何一本量子力学教科书，例如曾谨言先生的教材。
其实说到底，这个定理来自量子力学中对物理量测量值的定义。
只要你接受这套定义，再加上一些不算很复杂的数学推导，就可以推出这个定理。
简单说一句，这个数学推导的基本思路其实就是柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz inequality），这个不等式在许多领域中都有表现，而它最简单的表现就是平面几何中的：三角形的任意两边之和大于第三边。
仔细看看
这个形式，你是不是有所领悟了？
到这里为止，你对不确定性原理的了解已经超过了99.99%的人。
还有什么不知道的？可能还剩下一点，就是一个物理量的测量值究竟是怎么计算的。
这个说起来可就长了，要牵涉到算符。
在这里我们只做一些非常粗略的讲解，因为一旦要详细讲解，就会发现需要整本量子力学教材。
算符就是一种操作或者说一种运算规则，它作用在一个函数上，得到一个函数。
例如，“乘以一个常数”就是一个算符，“求导”也是一个算符。
在量子力学中，每一个物理量都对应一个算符，常用字母上加一个三角帽子来表示，即把物理量A对应的算符写成Â。
实际上，两个算符相乘也是一个算符，两个算符相减也是一个算符，因此给定两个算符
之后，
也是一个算符。
我们把它称为
的对易子（commutator），记为
。
这里的关键在于，算符可以不满足交换律，即
的对易子可以不等于
0，这时我们说这两个算符不对易。
一个经典的例子，就是穿鞋是一个算符，穿袜子也是一个算符，但你先穿鞋再穿袜子，和先穿袜子再穿鞋，得到的结果就完全不是一回事。
不确定性关系的右边，其实就
的对易子在待测状态下的期望值的绝对值除以
2
。
不确定性关系说的就是，
A
和
B
的不确定度的乘积不会小于它。
在量子力学中最基本也最著名的不对易的例子，就是x和p的对易子是个常数，等于iħ。
由此推出，对于任意状态，都有
Δx Δp ≥ ħ/2
实际上，如果你学过信号与系统，了解傅里叶变换（Fourier transform），你就会发现，以上推理在数学上完全等价于信号在时域与频域的关系：在时域越窄（即在时间上集中），在频域就越宽（即在频率上弥散）；在频域越窄，在时域就越宽。
无论如何也不可能让一个信号在时域和频域都很窄，因为它在时域的宽度和在频域的宽度相乘有个下限。
如果不熟悉时域和频域，我们还可以换一种更直观的表述。
假设握住一根绳子的一端，上下摆动产生一个波。
这时“波在哪里”就不是一个好问题，我们只能说它分布在一个范围内。
而如果问“波长是多少”，就可以有一个很好的回答。
如果我们突然抖动绳子，又可以得到一个沿绳子传播的很窄的波峰。
这时“波在哪里”这个问题就有答案了，但是“波长是多少”又没有意义了——它甚至没有一个周期。
当然也可以有介乎两者之间的情况，但是无论如何都无法让两个问题同时获得很好的定义：波的位置越精确，波长就越不精确，反之亦然。
上面谈的是宏观的波动现象，但惊人的是，量子力学中的不确定性原理跟它共享同样的数学原理。
这种简明而深刻的科学之美，你感受到了吗
三星堆又上新了，为什么我们总对“未知”上瘾
三星堆这几年几乎每次上新都能上热搜。青铜神树、黄金面具、纵目面具，一个比一个“不像地球产物”。
很多人一边惊叹，一边忍不住问：这到底是谁造的？和外星人有没有关系？ 说实话，“外星人说”基本可以放下。
考古学界的主流观点很明确：三星堆是古蜀文明的遗存，和中原商周文明有交流也有差异。
但为什么大家还是更愿意相信“外星人”？因为它满足了我们对“未知”的浪漫想象——面对解释不了的东西，人本能地想给它一个更刺激的答案。
但真实的历史其实比外星人更有意思。
三星堆最震撼的地方，不是它“怪”，而是它证明了中华文明从来不是单一源头。
中原有中原的礼制，古蜀有古蜀的信仰，它们各自生长，又彼此影响。
这种多元共存，才是中国早期文明真正迷人的地方。
与其期待外星人，不如多看看那些刚出土的象牙、丝绸残片、青铜器上的纹路。
每一道痕迹，都是三千年前的人留给我们的密码。
互动话题：三星堆这么多文物里，哪一件最让你觉得“不可思议”？
三星堆究竟留下了什么？5部纪录片，带你走近三千年前的古蜀世界
巨大的青铜面具、夸张的纵目、黄金面具、青铜神树，还有大量造型奇特的器物，让三星堆从第一次进入公众视野开始，就一直带着一种很特别的吸引力。过去几十年里，三星堆的考古工作一直没有停止。
尤其是新一轮发掘开始以后，大量新的文物和新的研究线索出现，也让人们重新认识这片土地上的古蜀文明。
01 《三星堆 消失与复活》 集数：6集 单集时长：约42分钟 观看渠道：央视网 《三星堆·消失与复活》是一部较早系统讲述三星堆的纪录片。
与今天已经非常熟悉的三星堆不同，这部作品拍摄时，很多关于古蜀文明的问题还处在不断探索之中。
它从三星堆遗址的发现与考古研究讲起，将大量出土文物带入它们原本的历史环境中。
青铜面具、青铜神树、玉器、金器以及祭祀坑中的各种遗存，都成为了研究古蜀人生活、信仰、社会结构和文明交流的重要线索。
三星堆最令人印象深刻的，往往是那些造型奇特的青铜器，这些器物为什么会出现在这里，又是谁制造了它们。
二十多年前的三星堆考古，与今天的新一轮发掘已经有了很大的不同。
也正因为如此，《三星堆·消失与复活》如今再看，除了能够认识三星堆本身，还能看到早期考古学家如何面对一个充满未知的古代遗址。
02 《不止考古 我与三星堆》 集数：5集 单集时长：约45分钟 观看渠道：哔哩哔哩 很多人认识三星堆，是从那些出土的青铜面具、青铜神树和黄金面具开始的。
《不止考古·我与三星堆》把镜头放到了三星堆考古发掘现场，整部纪录片跟随考古人员、文物保护人员以及相关研究人员，记录他们面对泥土、碎片和各种出土遗存时的日常工作。
一层土要慢慢清理，一块残片需要仔细编号，一件出土文物还要经过保护、检测和修复。
很多时候，工作人员面对的并不是完整的青铜器，而是已经破碎、腐蚀甚至难以辨认的残片。
他们需要从这些零散的信息中寻找彼此之间的联系，再一点点拼出三千年前的故事。
镜头里的三星堆，不只是遗址和文物，也不只是考古学家研究的对象。
年轻的考古工作者、长期关注古蜀文明的研究人员，以及那些第一次真正走近三星堆的人，都带着自己的好奇心来到这里。
03 《又见三星堆》 集数：6集 单集时长：约30分钟 观看渠道：爱奇艺 腾讯视频 2019年开始了新一轮关于三星堆的考古发掘，3号坑至8号坑陆续进入公众视野。
随着新的青铜器、玉石器、象牙、金器以及大量其他遗存不断出现，曾经已经被人们熟悉的三星堆，又多出了许多此前没有见过的细节。
《又见三星堆》记录的正是这一次重新打开三星堆的过程。
新的青铜人物、面具和神树形象，让人再次看到三星堆独特的青铜艺术；象牙和海贝等遗存，则把古蜀人的活动范围和对外交流带入了讨论。
也正因为这些新材料的出现，三星堆不再只是那个“青铜面具很特别”的古代遗址。
它开始呈现出更加复杂的面貌。
这里有祭祀，也有城市；有自己的文化传统，也存在与其他地区交流留下的痕迹。
过去很多看似孤立的文物，开始能够被放进更大的历史背景中理解。
我们以为已经认识三星堆，其实看到的可能只是其中一部分。
新的发掘、新的器物、新的研究，让三千年前的古蜀世界再次变得生动起来。
04 《重返三星堆》 集数：5集 单集时长：约25分钟 观看渠道：爱奇艺 央视网 《重返三星堆》内容集中在新一轮考古发现以及相关研究。
镜头随着发掘推进，也跟随一件件文物从出土现场进入后续研究，让观众看到三星堆考古在二十一世纪的新面貌。
其中一些文物尤其令人印象深刻。
青铜器依旧是三星堆最鲜明的标志，但新的出土器物让原本熟悉的青铜世界变得更加丰富。
人物、面具、神树以及各种造型独特的器物彼此之间逐渐形成联系。
象牙、海贝等遗存，则让古蜀文明与更广阔区域之间的交流再次进入研究视野。
纪录片也把视线放到了三星堆古城本身。
城市遗址、自然环境、水利系统以及周边聚落的研究，让三星堆逐渐摆脱了单纯依靠几件“明星文物”来讲述历史的方式。
那些青铜器背后，是一个拥有城市、生产、祭祀和社会组织的古代世界。
“重返”二字也因此有了特殊的意味。
这是一次对遗址的重新进入，也是一次对过去认识的重新整理。
二十世纪的考古发现奠定了三星堆研究的基础，新的发掘则带来了更多证据。
随着材料越来越丰富，古蜀文明的轮廓也在不断清晰。
05 《三星堆 古老的城市》 集数：2集 单集时长：约49分钟 观看渠道：央视网 纪录片把镜头拉回三千多年前的成都平原，沿着三星堆遗址留下的城市遗迹，重新观察古蜀人的生活空间。
城墙、建筑、道路、祭祀区域以及周边环境，共同构成了三星堆古城的基本轮廓。
一座能够长期存在的城市，需要稳定的食物来源，也需要生产、手工业和社会组织。
三星堆遗址中发现的大量遗存，恰好让这座古城逐渐显露出更加完整的面貌。
纪录片还将三星堆放进更大的古蜀文明背景中。
成都平原独特的自然环境，为早期城市的发展提供了条件；古蜀人与周边地区长期存在的交流，也在器物和文化遗存中留下痕迹。
三星堆因此呈现出一种很有意思的状态：它拥有鲜明的地方文化，同时又与更广阔的古代世界发生着联系。
《三星堆 古老的城市》用较为宏观的方式重新梳理古蜀文明，让三星堆从一组令人惊叹的考古发现，回到它原本的历史位置——一座曾经繁盛、后来沉寂，如今又重新被人们认识的古老城市。
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