这恰恰就是数学之所以是数学
【千问解读】
——罗素
1901 年，英国逻辑学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）发表了一篇文章，他在文中写道：“数学可以被定义为一门学科，在这门学科中，你永远不知所言为何物，也不知所言之物是否为真。
”这一评价既清晰又生动。
罗素不仅没有将数学的不确定性视作有害的，而且还字字句句地大声宣告，这恰恰就是数学之所以是数学！
而我们可以相信罗素的话，他知道自己在说什么。
罗素对数学的根柢了如指掌。
在写下这句话十年后，他与同仁阿尔弗雷德·诺思·怀特海（Alfred North Whitehead）合著了《数学原理》（Principia Mathematica），他在书中提出的公理奠定了数学作为一种统一的理论的基础。
如果说，欧几里得用五个公设构建了整个几何学，那么罗素和怀特海就把整个数学囊括进了他们的理论中，从几何到代数，从牛顿使用的向量到康托尔集，甚至还有在撰写《数学原理》时尚未定论的理论，比如分形，都可以在两人的理论框架中得以构建。
总之，如果罗素说数学不知自己所言为何物，那么我们可以通过倾听数学的所言之物得到诸多启发。
此外，只要仔细想一想，你就会觉得这并不让人感到意外。
这场旅途中的一些线索，应该让我们心怀警惕。
模糊在数学中扮演关键角色，已有时日。
你应该还记得美索不达米亚的书吏及他们没有零和小数点的体系。
他们也不知道自己所言为何物。
在写下 12×8 = 96 时，他们说的可能是120×8 = 960 或 1200×80 = 96 000，又或是 0.12×0.8 = 0.096。
模糊已经出现，书吏们不仅没有视之为妨碍，反而加以利用。
借助这种模糊，他们理解了乘法的一个基本特性，而这一特性在后来又被纳皮尔及其所有后继者所利用。
数字的概念本身就带有不确切性。
自打学者们让数字成为独立于计算对象而存在的虚构实体时起，他们就不再知道自己计算的为何物了。
在写下 2 + 3 = 5 时，你并不知道这是在加巧克力、千米、书，还是什么都没加。
但这个等式是正确的。
阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（Jorge Luis Borges）在1942 年发表的短篇小说《博闻强记的富内斯》（Funes el memorioso）中讲述了一个年轻人的故事，这个年轻人因为拥有超群的记忆力，所以无法忽视其他人无法看到或觉得无关紧要的众多细节。
超群的记忆力非但没有成为一种优势，反而因为主人公无法意识到自己所见世界的不同之处，很快变成了严重障碍。
这个年轻人无法用同一个词来指称不同的事物，他很难接受在某一刻从侧面看到的一条狗和一分钟后从正面看到的一条狗具有相同的名称。
博尔赫斯写道：思考，是忘记差异，是概括、抽象。
无法忘记的富内斯也就无法思考了。
模糊的关键在于不变的概念。
对象各有不同，但由于存在共同点而理应具有相同的名称。
情况各有不同，但可能以相同的方式运转。
研究这些共同点和运转方式，相当于一下子想到千百种不同的事物，却不知所言为何物。
这么做绝非徒劳之举，而是一个丰富的过程，可以引导我们对世界具有全面和深刻的了解。
我们所说的模糊、不精确或模棱两可，实际上有一个我们已经知道的名字：抽象。
字词对我们的影响大到令人难以想象。
你看，我们之所以不认得“抽象”这个旧相识，只是因为叫法不同。
它不应该让我们感到害怕。
正是它，自我们开始探索宇宙的内部运转机制以来，就一直支持和陪伴着我们。
抽象这只怪兽比我们到现在为止所能够想象的要强大得多。
从一开始，模糊就在那里。
模糊不是毫无预兆地冒出来的，它在数学思维的发端就站在了我们面前。
然而，学会认清模糊，并意识到模糊王国的规模，还需要很长一段时间。
抽象之于观念就像什锦蔬菜之于蔬菜：一种将多个不同之物集合在统一名称之下的方法。
此外，“什锦蔬菜”（macedonia）一词源自希腊半岛东北部的一个地区（即马其顿，Macedonia），那里以多民族混居而闻名。
因此，抽象推理的先驱之一——亚里士多德在那里诞生也就不足为奇了。
公元前 4 世纪，在国王腓力二世的推动下，马其顿王国经历了一段繁荣期。
腓力二世进行了数次改革，并在公元前 338 年的喀罗尼亚战役中征服了雅典和底比斯，从而成为希腊的统治者。
亚里士多德于公元前 384 年出生在斯塔基拉，这是最早被马其顿王国征服的城市之一，位于斯特里蒙湾的海岸。
腓力二世对这位学者颇为赞赏，并把自己的儿子，也就是未来的亚历山大大帝托付给他教育。
后来，亚里士多德倾其一生创作了一部令人叹为观止的著作，这部著作产生了巨大的影响。
事实上，它的影响太过巨大。
亚里士多德的许多错误将被反复教授，在数百年间从未受到过任何质疑。
他以地球为宇宙中心的理论在很长一段时间里阻碍了哥白尼、开普勒和伽利略的思想的问世。
在亚里士多德的众多著作中，我们可以特别关注一下《工具论》。
这是一本论述推理和逻辑艺术的文集，尤其阐述了从假设中得出结论的不同规则。
这些规则被称为“三段论”。
以下是最著名的三段论之一：
凡人皆有一死；希腊人都是人；因此，希腊人皆有一死。你肯定同意这个推理是完全正确的。
你也可以通过直观地描述凡人、人和希腊人来说服自己相信这一推理（图 4.12）。
显然，“希腊人”包含在“人”的圈子里，“人”又包含在“凡人”的圈子里，“希腊人”除了也是“凡人”之外别无选择。
要理解亚里士多德的推理方法，就必须区分推理的正确性和所陈述事实的正确性。
比如，让我们来看看下面这个新的三段论：
所有的哺乳动物都有鳞片；鹦鹉是哺乳动物；因此，鹦鹉有鳞片。这几句话是完全错误的，但推理却是正确的！再仔细看看这三句话，你会发现，最后一句的确是前两句的逻辑结果。
要说一个推理是正确的，则意味着其结论在逻辑上是基于其假设的。
但是，当然了，如果假设是不确切的，那么结论也是不确切的。
在对三段论的研究中，亚里士多德关注的不是假设的正确性，而是推理的正确性，而后者并不取决于谈论的对象。
换句话说：你不一定要知道所言为何物，就能进行正确的推理。
上述两个三段论完全可以简化为下面这种形式：
任何玩意儿皆为东西；家伙皆为玩意儿；因此，家伙是东西。你看，这是一个完全正确的推理。
你无须知道什么是“玩意儿”“东西”和“家伙”，那是多余的信息。
无论你赋予这三个词什么意思，如果两个假设都是正确的，那么结论也必然是正确的。
而这不仅适用于这个特定的三段论，而且适用于所有有效的推论。
想象一下，有两个人正在看以上推理。
对第一个人，我们告诉他“玩意儿 = 人，东西 = 凡人，家伙 = 希腊人”。
对第二个人，我们告诉他“玩意儿 = 矩形，东西 = 四边形，家伙 = 正方形”。
即使这两个人所说的不是同一件事，但他们都会同意这个三段论的说法。
我们面对的就是一个误解（图 4.13）。
现在，让我们回到一个熟悉的例子上：欧几里得的《几何原本》。
书中的五个公设说的是点、线、圆、直角和平行线，但假设一个人为这些词赋予了不同的含义，他会对此有所察觉吗？根据亚里士多德的说法，这对证明的正确性不会有任何影响。
无论我们对欧几里得所用的词汇做出怎样的解释，他的论据本身都是正确的。
为了很好地理解这个原则，让我们重写一下五个公设，但要用更为模糊的字眼：
1. 从一个东西的任意玩意儿到另一个玩意儿可引且只能引一条家伙；
2. 任意有限的家伙可沿这个家伙无限延长；
3. 给定任两个玩意儿，可以一个玩意儿为心、到另一个玩意儿为半径作那啥；
4. 所有杂乱都彼此相等；
5. 给定一条家伙，通过此家伙外的任何一个玩意儿，有且只有一条家伙与之平行。
你看，我们完全不知道所言为何物了。
现在想象一下，一个人为“玩意儿”“东西”等词赋予了不同的含义，但在他的阐释中，五个公设仍是正确的。
那么，你可以把欧几里得的整本《几何原本》都念给他听，他绝对不会提出任何异议。
因为对这个人来说，最初的假设是正确的，既然欧几里得的推理是正确的，那么我们所说的不是同一件事也就无关紧要了，结论在这个人看来是正确的。
换句话说，哪怕你对这基本的五个公设有“误解”，也足以继续后面所有的定理及其证明。
只要为遵循五个公设的词语找到一种新的阐释，你就可以像几何学家一样放心地在这些公设中引用欧几里得的结论了。
任何数学都受到这些潜在误解的影响。
它们既令人不安，又异常强大。
它们为我们提供了新的视角，从而拓宽了我们的视野。
如果有可能以不同的方式去理解欧几里得的用词，那么谁又能知道，这些阐释之一在某一天能否阐明第五公设呢？
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东西方大家亚里士多德和孔子之间有什么瓜葛
一言以蔽之，就是亚里士多德已经代替大家进行了思考，他的观点与论断是绝不会出错的。
亚里士多德雕像 伽利略则是十六世纪的意大利人。
他出生于一个破落的贵族家庭。
一生有很多重要成就，是大家公认的聪明人。
可是就算如此，两者完全是两个时代的人，如果没有时光穿梭机，不大可能直接对话，会有什么关系呢? 其实亚里士多德和伽利略还真的存在一次“亲密的接触”。
诸位知道伽利略一生醉心于自然科学的研究。
提出了很多新观点。
普通中国人非常熟悉的应该就是那个著名的“斜塔实验”了，没错，两个人第一次公开的较量就是在这里。
伽利略宣称要在斜塔做一个实验，以验证亚里士多德关于重力的论断是错误的!这个消息令舆论哗然，虽然亚里士多德不能到场，但是拥护他学说的人可是不计其数，何况他的拥趸都是高质量粉丝，从大学里的教授到研究机构的院长。
这些人全都到场支持自己心目中的先贤圣人。
可是，这些拥护者们自己内部先产生了矛盾，有些人认为，轻的会拖累重的，所以速度减慢;有的认为，重的占上风，所以加快;然而事实是，不论是轻的、重的还是两个捆在一起，三个物体的落地时间都是一样的。
这就是亚里士多德和伽利略跨越时代的交锋。
亚里士多德和之间有什么瓜葛 亚里士多德作为古希腊人尽皆知的科学家，而孔子是我国非常有名的圣人，把亚里士多德孔子放在一起究竟为何?两人之间又有什么瓜葛?首先，他们最大的相同之处就是作为一个伟大的教育家而且被后人所记住了。
亚里士多德雕像 孔子是春秋时期的老师，他开私塾教学生，而他的言论与教育也被后人所膜拜，我们深刻的记住了这个提出中庸之道的教育家，而亚里士多德呢，也是如此，作为的学生他也是一个伟大的教育家，而且他的思想并不是束缚于层面上，创新精神强。
所以说亚里士多德孔子相似之处还是巨大的。
而要说他们不同之处呢，也有。
首先孔子作为一个饱读圣贤书的老师，他一直是被人所尊敬的。
单凭这一点亚里士多德就比不了了，亚里士多德的前半生都是不得志而碌碌无为的，直到他的科学观被认可之后，大家才接受了他的思想。
这点跟孔子当时的地位是没有可比性的，孔子在中国教育界的地位可以说是前无古人后无来者，无可动摇的。
那亚里士多德孔子为什么会被人铭记直到今天呢?大致原因是一方面两者提出的理论都被世人运用到今天，另一方面是两个教育家都留下了许多的名人名言，这些名言放到今天用来鼓舞学生。
亚里士多德孔子一个西方一个东方，虽然看起来有较大的文化差异在里面，但是两人的贡献都是没有谁能比拟的，并且将永远的被后人所记住，他们的思想将一代传一代的永不停息。
亚里士多德的教育思想是什么 思想可以改变一个人的看法，也可以决定一个人的信念，那么，接下来，我们就来详细的了解一下什么是亚里士多德的教育思想，因为亚里士多德的教育思想充满着智慧。
亚里士多德的雕塑 亚里士多德的教育思想其实主要分为三部分，第一部分指的是灵魂和教育方面的思想。
在这种思想当中，亚里士多德认为人类有三种灵魂，理性的、非理性的和植物性的。
这三种灵魂让人分别具备了理性的思考、感性的情感以及对待动物方面的情感。
这些情感的具备让人变的更加丰富，同时，也确立了人类的发展前景，就是通过这些情感来发展人应该具备的兴趣爱好。
第二部分指的是儿童的年龄分期方面的思想。
亚里士多德早年就对教育方面进行了分类，同时，在这一部分的思想当中，亚里士多德把每隔七岁的年龄阶段分为一个阶段，并且通过对这些阶段的观察和了解，亚里士多德认为，家长和老师应该根据孩子这几个阶段的不同特点，来规划孩子的教育特点和教育范围。
这样才能让孩子多方面的发展与成长。
第三部分指的是艺术方面的思想。
艺术就是一个很大的范围了，他包括音文艺等方面。
在亚里士多德看来，这些方面的教育可以让人们产生美的感受，特别是音乐方面的教育。
但这方面的教育，亚里士多德也将它分为实用和文雅两方面。
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约翰内斯·勃拉姆斯的作品有什么特点？对世界有什么影响
D大调第二号，特有的田园风格，也被称为勃拉姆斯的田园交响曲，至于第三号其雄浑的气势也常与贝多芬第三号英雄相提并论。
勃拉姆斯的交响曲天性认真;严于自我批评的勃拉姆斯对待交响曲写作谨慎小心，被一种“不准落在贝多芬的交响曲造诣之下”的责任感所束缚住。
早期作品只有两首小夜曲(D大调，Op11，1858和A大调，Op16，1860)和炉火纯青的《海顿主题变奏曲》(Op6，1873)。
由于他对过去的问题非常熟悉，使他对大型的交响乐形式不敢轻易尝试，例如他的D小调钢琴协奏曲，起初是计划写成交响曲的。
后来，他感觉不能胜任这样巨大的交响乐结构，就把它缩写为两架钢琴用的奏鸣曲。
又过了几年，这个作品有了一个钢琴曲的局面，可是还带有原来的管弦乐的特点，于是勃拉姆斯就把它写成了一部钢琴协奏曲。
最初打破了交响乐计划的终曲用轮旋曲替代，尽管它仍未提高到第一乐章的水平。
这部崇高的、悲剧性的作品仍然是一个独特的融合，一部带钢琴助奏的交响曲。
勃拉姆斯意识到他的性格中有浪漫主义的倾向，但他同时更意识到浪漫主义和交响乐逻辑是根本对立的;因此他不满足于细小的主题相结构的逻辑，他要从当代音乐中寻求可以为交响乐所利用的因素来支持他的交响乐建筑。
在他的第一交响曲中我们看到他应用了胚芽般“germinal”的动机主题。
它超越于主题发展的逻辑之上，起着联结整个交响曲的作用。
勃拉姆斯在发展这动机主题时运用了古典主义艺术的重要手法之一：变奏。
这种手法，或不如说是原则，古典主义作曲家常用于他们的四重奏和交响曲中的慢乐章和末乐章，给交响曲结构增添了一个新的起凝聚作用的因素。
固定乐思不是限于一个乐章，而是试图联结整个作品。
他的交响曲保留了贝多芬的原则，甚至包括转调和调性关系，而这些原则在真正的浪漫派交响乐中显然是缺少的。
在每一首交响曲中他都坚持二元的奏鸣曲原则，甚至在第四交响曲的固定低音变奏曲中仍然坚持了这一原则。
他对于音乐历史的某些阶段具有深邃的知识。
勃拉姆斯交响曲的特征 复杂缜密关系的风格，织体浑厚，在主旋律的中间总是充满着对位音形。
以动机、结合乐曲的连贯性。
旋律有时带有民谣风、三和弦、动机似的旋律也多见，而其基调为抒情，尤其是慢板乐章。
勃拉姆斯又对于节奏独特的使用，也是其特色之一以切分音，不同的节奏型的共置(hemiola：2对3的节奏)是主要特性，将重拍的位置移动都有趣的现象。
C小调第一交响曲经过多年加工，于1876年完成，那时勃拉姆斯已43岁;D大调第二交响曲于1877年问世，最后两首(D大调和e小调)分别成于1883和1885年。
其它管弦乐作品有《学院节日序曲》(1880)和《悲剧序曲》(1881);另外，除两首钢琴协奏曲外，应加上D大调小提琴协奏曲1878)(在小提琴曲目中的地位和贝多芬的协奏曲齐名，还有小提琴和大提琴的A小调二重协奏曲0p。
102(1887)。
勃拉姆斯的交响曲在好几个方面是古典主义的：按惯常的四乐章结构，每一乐章的曲式都同古典格局相近;应用古典主义的对位技巧和动机展开技巧;没有具体的标题，换言之，和他的室内乐一样是纯音乐。
然而，交响曲的和声语汇、浓郁而色彩繁多的管弦乐音响以及音乐语言的一般特点却是浪漫主义的。
但它们不是古典主义和浪漫主义的单纯的综合;勃拉姆斯的风格是统一的、有个性的，其中可以辨认出各种因素，包括旋律线，极其抒情而气息辽阔的，像叙事歌般奇特，从根本上尊重传统(这与柏辽兹和特的个人主义音乐观正好相反)。
对他来说光有灵感是不够的：乐思必须严加推敲、赋以完美形式。
他避免浮夸的华丽、空洞的炫技、特别是他所认为的(许多同时代人也有同感的)那种显然靠作曲家心中没有控制的思想之流串在一起的无曲式可言的音乐。
勃拉姆斯控制自己的灵感，因此所有的作品经过深思熟虑，这就是何以他的音乐有安详恬静的感觉，不同于1830至1860年间的冲动型作品。
但不论他是否意识到，这是对时代的总潮流的反应。
浪漫主义的童稚般的清新和青春的热情到世纪中期锐势已衰，放荡阶段已经过去;回到规矩绳墨、恢复秩序和形式，显然可见于舒曼和柏辽兹的晚期作品，甚至李斯特和瓦格纳的作品中。
勃拉姆斯的交响曲更清楚地证明这一点。
第一交响曲在调性的选用和大的结构上取法于贝多芬的第五，是勃拉姆斯唯一的一部发挥斗争动机(小调)终于胜利(大调)这一浪漫主义观念的交响曲。
乐章的调性结构也是l9世纪交响曲所典型的：I，C小调;II，E大调;III，A大调和B大调;IV，C小调和C大调。
其它浪漫主义特点有：开始的半音主题在第二、第四乐章中重复出现;两个奇特的慢导奏，从中逐步蜕化出后面的主题，犹如拨开云雾见高山;慢乐章的凄楚感伤，主题内部突然迸发的小调和弦;末乐章的弓子中，圆号和长笛在一个神秘地起伏的伴奏上方吹奏一个满腔愁绪的C大调旋律，长号和大管的一句沉穆的4小节众赞歌乐句，在快板高潮时又一次以尸出现。
第二交响曲与第一交响曲相反，属于平静的田园性质，虽然不无严肃的潜流。
第三乐章(像第一和第三交响曲中的相应乐章那样)有间奏曲的抒清、优雅和节奏性，而没有贝多芬诙谐曲的紧张，属于勃拉姆斯在1867年G大调六重奏中创造的那种类型。
勃拉姆斯对交响曲创作的探索促使他追溯古典派交响乐的源泉。
第二交响乐的末乐章使人感到有海顿交响乐的末乐章的爽朗充沛的精神。
勃拉姆斯在他的前三部交响乐中避免采用诙谐曲，因为恶魔式的、疾速而不可抗拒的诙谐曲是古典主义交响乐艺术的缩影，如非出于真正交响乐的高昂锐气的驱使，必然写成了华而不实的音响游戏。
门德尔松写过一些精致的、很富于艺术性的诙谐曲;但勃拉姆斯懂得诙谐曲的实质是奔放而不是优雅;因此，通过在室内乐中写诙谐谚曲来学会恰当地掌握它之前，他宁愿返回到较早期的交响乐中间乐章。
舒伯特已经感觉到了这一点，因为在他敢于着手写交响乐诙谐曲之前，有很长一个时期他坚持写小步舞曲。
第三交响曲曾被人叫作勃拉姆斯的《英雄交响曲》。
开始几个小节是他的典型的和声用法、主三和弦的小调形式和大调形式相交叉的特好例证;低声部上行的F—Ab—F在这首交响曲的末乐章中又很明显，末乐章以F小调开始，直到尾声才归回F大调。
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