111年后，数学找到了它的另一张物理面孔

1914年，拉马努金写下17个与 1/π 有关的级数。

那时，量子场论还没有发展成今天的样子。

拉马努金当然也没有讨论黑洞、弦论或者现代量子场论。

但2025年，一篇论文让这个一百多年前的数学公式重新进入了理论物理的视野。

2025年12月，印度科学理工学院的法伊赞·巴特（Faizan Bhat）和阿南达·辛哈（Aninda Sinha）在《物理评论快报》（Physical Review Letters）发表论文《拉马努金的1/π级数与共形场论》（Ramanujan’s 1/π Series and Conformal Field Theories）。

论文的核心结果很容易被媒体标题带偏。

它并不是说拉马努金在1914年预言了量子场论，也不是说他的 π 公式就是黑洞、湍流的“密码”。

真正的结果是：

拉马努金公式背后的超几何函数结构，可以在一种特殊的二维量子场论——对数共形场论中，得到具体的物理解释。

要理解这一点，需要从“共形场论”这个名字本身开始。

什么是共形场论？

量子场论研究的是量子世界中的场。

在我们通常的直觉里，世界由一个个物体组成：电子、光子、原子、桌子、椅子。

但在现代物理学中，基本描述往往不是“一个粒子在哪里”，而是一个场在空间和时间中如何变化。

所谓“算子”（operator），可以简单理解为作用在物理系统上的一种局部操作。

例如，在量子力学里，一个物理量可以用一个算子表示；在量子场论中，算子则可以在空间某个位置“插入”一个局部的物理操作。

于是，物理学家经常问：

如果我在这里放一个算子，在那里再放一个算子，它们之间会有什么关联？

这就进入了关联函数（correlation function）的概念。

所谓关联函数，可以先用一个很直观的例子理解。

假设天气预报员每天记录温度。

如果今天很热，明天是不是也更可能热？

他可以计算“今天的温度”和“明天的温度”之间的相关程度。

量子场论中的关联函数比这个复杂得多，但基本思想类似：它研究不同位置、不同物理操作之间存在怎样的关联。

共形场论（Conformal Field Theory，CFT）研究的是其中具有特殊共形对称性的理论。

“共形”这个词可以先理解成一种特殊的几何变换。

普通的放大，是把所有长度一起乘上一个倍数。

例如一张照片放大两倍，长度全部变成原来的两倍。

而共形变换更加灵活，它允许空间发生局部的拉伸和缩放，同时保持局部的角度关系。

因此，共形对称性可以理解为一种非常强的几何对称性。

共形场论特别适合描述具有尺度不变性的系统。

所谓尺度不变，就是把系统放大或者缩小以后，它的基本规律仍然保持相似。

一个经典例子就是临界现象。

水加热到一定温度附近，会从液态变成气态；磁性材料在临界温度附近，也会发生相变。

在临界点附近，一个区域的变化可能影响更大的区域，更大的区域又影响更大的区域。

系统中出现跨越许多尺度的关联。

这时候，“尺度”本身就不再有一个特别特殊的大小，共形对称性因此变得非常重要。

二维系统尤其特殊，因为二维空间中的共形变换具有极其丰富的数学结构。

于是，二维共形场论成为数学和理论物理之间一个非常重要的桥梁。

而就在这里，拉马努金的超几何函数出现了。

四个点为什么会产生一个超几何函数？

物理学家经常研究四点关联函数。

可以想象平面上有四个点：

A、B、C、D。

每一个点上放置一个算子。

我们要研究的就是这四个算子之间的整体关联。

普通情况下，四个点的位置似乎有很多自由度。

但是共形对称性非常强，可以把很多不同的几何信息消掉。

最后，真正重要的几何信息可以压缩成一个无量纲变量，叫做交比（cross-ratio）。

交比可以简单理解为一种描述四个点相对位置关系的量。

于是，原来复杂的四点问题，最终往往变成了研究一个变量 z 的函数。

这时候，超几何函数就出现了。

也就是第一篇文章中的：

Fσ(z) = ₂F₁(σ, 1−σ; 1; z)。

这里的 z，就是描述四个点几何关系的交比变量。

σ仍然是参数。

1−σ仍然就是1减去σ。

而 ₂F₁ 则表示高斯超几何函数。

于是，一个非常重要的对应关系出现了：

拉马努金研究 π 时出现的超几何函数，也可以成为描述二维共形场论四点关联函数的数学函数。

这不是说物理学家把拉马努金的公式硬套进物理。

而是因为两个问题在数学上都产生了同一类微分方程和同一类特殊函数。

这才是这项工作的真正意义。

为什么又出现了“对数”？

故事到了这里，还只是普通共形场论。

但2025年论文研究的是更加特殊的一类理论：

对数共形场论（Logarithmic Conformal Field Theory，LCFT）。

为什么叫“对数”？

因为它的关联函数中会出现对数项。

例如数学上我们熟悉：

log z。

当 z 发生变化时，log z 以一种特殊方式变化。

在普通共形场论里，很多量可以比较干净地分解成独立的部分。

而在对数共形场论中，情况会变得复杂。

原因与一个叫维里梭罗代数（Virasoro algebra）的数学结构有关。

“代数”在这里不是中学里的代数运算，而是一套描述二维共形对称性的运算规则。

可以把它理解成一张“对称性的骨架”：它规定不同的共形变换之间怎样组合。

普通情况下，这套结构可以通过相对整齐的方式分解。

但在LCFT中，会出现某些对象无法完全独立分开的情况。

这时就会出现约旦块（Jordan block）。

约旦块这个词来自线性代数。

我们可以用一个简单例子理解。

一个矩阵如果能够被对角化，就好像把一个复杂系统拆成几个互不干扰的独立方向。

例如一个方向只负责一种变化，另一个方向负责另一种变化。

但有些矩阵做不到完全分开。

这时就需要约旦标准形，其中最基本的结构就是约旦块。

LCFT中类似的非对角化结构意味着某些算子之间存在特殊的混合关系。

这种混合最终会在关联函数中表现成对数项。

所以，“对数”并不是一个偶然加进去的数学符号，而是这个理论内部特殊代数结构的表现。

而更加有意思的是：

超几何函数自己也会出现类似的对数行为。

这就让数学和物理在这里真正接上了。

σ终于获得了物理意义

第一篇文章里，我们一直在问：

为什么公式里会出现 σ？

现在答案开始出现。

在相关的对数共形场论构造中，σ决定了一个特殊算子的共形维数：

Δ = σ(σ−1)。

这里的 Δ 叫做共形维数（conformal dimension）。

“维数”这个词容易让人误解。

它并不是简单地说“这个对象有几维”。

更准确地说，它描述一个算子在尺度变化下怎样变化。

例如，如果把空间尺度放大 λ 倍，一个具有某种共形维数的量，可能会按照 λ 的某个幂次发生变化。

这个幂次就是它的标度行为，而共形维数正是描述这种行为的重要参数。

于是：

σ

在数学中，是超几何函数的参数；

在物理中，它决定了某类特殊算子的共形维数。

这不是两个毫无关系的数字恰好相同。

而是同一个数学参数，在两个理论中承担了相互关联的角色。

论文中涉及一种特殊的扭结算子（twist operator）。

“扭结”这个名字听起来很形象。

它可以粗略理解为一种改变场的连接方式或者边界条件的特殊算子。

把几个区域“接起来”时，如果要求场经过某种特殊的循环或者置换，就会产生这种扭结结构。

在二维共形场论中，扭结算子的关联函数恰好能够与超几何函数建立联系。

于是拉马努金公式背后的数学结构，就有了物理解释。

中心荷为什么会是负数？

这里还会出现一个经常被媒体文章简单化的概念：

中心荷 c。

中心荷（central charge）是共形场论中的一个重要参数，它反映的是理论所对应的共形代数结构。

初学者很容易把它理解成“粒子有多少种”或者“自由度有多少”。

这种理解过于简单。

更准确地说，中心荷是共形场论代数中的一个中心参数，它会影响理论的关联函数、量子结构以及许多物理性质。

在相关构造中，σ的不同取值会对应不同的中心荷。

例如：

σ = 1/2，对应 c = −2；

σ = 1/3，对应 c = −7；

σ = 1/4，对应 c = −25/2；

σ = 1/6，对应 c = −24。

这里的负数也不要简单理解成“物理上不合理”。

LCFT本身就是一种特殊的理论结构，其中中心荷可以取负值。

当然，这里也必须避免另一个误解。

不能把它简单说成：

σ=1/2就是某一种现实物理系统；

σ=1/3就是另一种；

σ=1/4就是第三种。

实际情况没有这么简单。

这些参数对应的是不同的共形场论结构，其中一些与已经研究的物理系统存在联系，而另一些目前并没有明确的具体物理应用。

例如，c = −24 与渗流问题的研究存在联系；而对于 c = −25/2，研究者并没有确定一个具体的物理应用。

所以真正重要的是结构上的对应，而不是给每一个数字强行寻找一个现实标签。

这是不是说明拉马努金预言了量子场论？

不是。

这一点必须说清楚。

拉马努金生活在现代量子场论成熟之前。

1914年的论文没有讨论共形场论，也没有讨论量子场、黑洞或者弦论。

因此，“拉马努金早在1914年就预言了量子场论”是错误的。

真正发生的事情，是现代物理学在研究二维量子场论时，遇到了一个与拉马努金公式相同的数学结构。

数学在一个世纪以前研究了一种结构。

物理学在另一个时代、另一个问题中又遇到了它。

这时候，两种语言发生了对应。

这类事情在数学物理史上其实并不罕见。

复数最初只是数学家解决方程问题的一种工具，后来成为量子力学不可缺少的语言。

非欧几何最初是数学家研究欧几里得几何公理体系的结果，后来成为广义相对论描述弯曲时空的数学基础之一。

数学结构有时会等待很久，直到物理学提出一个恰好需要它的问题。

拉马努金的 π 公式现在遇到的，就是这样一种情况。

而更值得注意的是，故事还没有结束。

因为2025年的研究不只是“解释”了拉马努金。

它还发现，拉马努金式的数学方法可能反过来帮助物理学家进行新的计算。