量子力学探究：一维线性谐振子与矩阵力学初步

前言：

量子力学第六期推文。

从这期推文开始，我们将进入矩阵力学，揭开量子力学和线性代数奇妙的联系。

前五期推文中介绍了普朗克黑体辐射公式，波粒二象性，薛定谔方程，定态问题——势阱和势垒，不了解的朋友们可以先前往这几期推文。

定态问题中，还差线性谐振子模型没收尾，正好用它承上启下。

波动力学对微分方程的数学要求还是太高了，所以我们尽快进入矩阵力学，它虽然相对难理解，但胜在好算，而且它的难理解只是因为线性代数的语言不为大家所熟知，高中我们早已经习惯了用函数描述一切。

全文5455字，干货较多，旨在收尾定态问题，并建立矩阵力学的大体主线

01

波动力学视角下求解线性谐振子

量子世界的一维线性谐振（One-dimensional quantum harmonic oscillator）是量子力学中最基础、最重要的模型之一。

它描述的是粒子在一个形如抛物线形的势阱中运动的量子行为。

经典世界里，比如弹簧振子、单摆（小角度）都近似是谐振子；

而在量子世界，它不仅是理解分子振动、晶格振动（声子）的基石，也是量子场论中“场量子化”的起点。

其波动力学解法流程如下：

薛定谔方程 → 无量纲化 → 渐近分析 → 分离变量 → 幂级数 → 截断条件 → 能谱 → 厄米多项式 → 波函数

下面开始求解。

一维谐振子的哈密顿量：

定态薛定谔方程：

这是一个二阶线性常微分方程，束缚态下粒子无穷远处波函数必为0。

观察该方程，同除以1/2ℏω，使等式无量纲化，然后换元：

建议写成微元形式，方程变为：

当 ξ→±∞时，方程近似为：

根据束缚态无穷远处波函数为0，取：

我们猜测：

H(ξ) 在 ξ 有限时应为有限，当 ξ→±∞ 其行为也要保证整体函数不发散。

代回原方程，得到 H(ξ)满足的方程：

这就是厄米方程，求解该微分方程，我们使用级数展开法。

最后H(ξ）必定为有限多项式，这也印证能量的分立性。

设其为幂级数：

这里建议把级数展开写，可以清楚地观察到各项乃至最后尾项，然后代入上述厄米方程，得到：

利用该公式，可以由 a0 算出所有偶数项系数，由 a1 算出所有奇数项系数。

但是，目前 H(ξ) 仍是无穷项，这会导致最终的波函数指数发散，不满足束缚态条件，因此，必须对其阶段，对于不同的 n（量子数），H(ξ) 取不同项。

这样，对于系数递推式，其分子必须得0。

λ = 2k+1

注意该递推式的 k 针对的是系数的下标，为了做区分，我们用量子数 n 表示，n和k的取值是都是离散的，都是取0,1,2,3，但是二者并不同步，

这样，对于不同的n取值，就能得到不同项数的厄米多项式。

具体取值举例：

再令k取0，发现：

这说明偶数项从a2开始都是0，我们令奇数项的a1也得0，这样，H0(ξ)就只含a0一项。

再举一例：

取k=1，发现：

如果 n 是偶数，则只有偶次项到 n 次，奇次项必须从开始就为零；

如果 n 是奇数，则只有奇次项到 n 次，偶次项必须从开始就为零。

而最开始的系数a0，a1可以随意取，最后归一化即可。

不过，为了统一标准，通常对每次的系数赋值有一定要求，最终得到：

其通式为：

n取几，就对指数函数求n阶导数，大家可以自行验证，得到的结果和具体的函数对比，发现一致。

它们满足正交关系：

这里的归一化需要用到连续n次分部积分，比较复杂，笔者当时也算了好久，就不再展开折磨大家的CPU了。

最终得到的波函数：

其中归一化系数：

其能量通式根据之前λ = 2n+1 = 2E/ℏω 可解：

想必定态问题解到这里，大家已经受够了解各种微分方程和积分吧！

波动力学给你一张地图，你能看到波函数在空间中的形状。

这很直观，但细节太多。

你想知道能级间距？需要解微分方程。

你想知道力学量的期望？需要做积分。

你想知道高激发态？厄米多项式越来越复杂。

所以，如果能有一种更简洁的语言去处理量子力学，会如何呢？

这就是矩阵力学，对于线性谐振子，我们有最经典的产生湮灭算符（也称升降算符），在此之前，我们先对矩阵力学进行入门介绍。

02

初学者的算符入门指南

严肃强调：本部分内容初步过一遍矩阵力学的主线，很多内容之后推文还会细说

先忘掉“算符”这个词。

它听起来很吓人，但其实它就是一个动作。

以生活为例:

在数学里，算符就是把一样东西变成另一样东西的规则。

我们把这种规则封装进入字母里：

函数的作用对象是数，算符的作用对象是函数、矢量、态。

可以说，算符就是一种更高级的函数。

回到量子力学领域。

量子力学里的算符——作用于“态”

在量子力学里，一个系统的状态叫做态，用右矢 ∣ψ⟩ 表示。

右矢 | ⟩ 这个符号本质上也是一种箭头感，为了和经典力学中的矢量箭头做区分，科学家们特地创造出来的一种符号，当你写习惯了就好。

在初期理解时可以和向量或矢量类比，矢量之间可以线性叠加，右矢也遵循一样的叠加规则。

如此，我们可以把态想象成一个箭头，指向某个方向。

∣0⟩ ：基态，指向“最低能量”方向。

∣1⟩ ：第一激发态，指向“第一激发”方向。

∣ψ⟩ ：任意态，指向某个叠加方向。

量子力学里的算符，就是把一个态（A箭头）变成另一个态（B箭头）的规则。

算符不改变“箭”这个概念，它只是对箭做某种操作。

读作：算符 A（hat） 作用在态 ∣ψ⟩上，得到新态 ∣ϕ⟩ 。

本征态——算符的“特殊箭头”

大多数情况下，算符作用在箭上，会改变箭的方向。

但有些特殊的箭，算符作用后，方向不变，只是长度变了。

这样的箭，叫做算符的本征态。

A(hat)作用在本征态 ∣a⟩ ，得到的还是同一个态，只是多了一个数 a。

这个数 a 就称为本征值。

二者在量子力学中有深刻的物理意义：

本征态：测量某个物理量时，能得到确定值的态。

本征值：测量得到的确定值。

力学量只有在其本征态下才有确定的值，检验方法就是列其对应的本征方程。

处于叠加态时，测量结果是概率性的。

这里举例说明，同时也能加深矩阵力学和波动力学的联系：

01

动量算符的本征态形式是怎么样的？

我们知道，动量算符对应动量本征值的本征方程。

那么自由粒子的波函数是否是其本征态的形式呢？我们验证一下：

（这里波函数没有进行归一化）

所以，方程符合本征方程形式。

把此形态下的波函数用狄拉克右矢封装，方程简洁形式为：

测得的动量 p = ℏk，是确定的，而此形式下，位置不确定，对波函数求模方发现概率密度处处为1，粒子可能在全空间内被找到。

可见，动量本征态是平面波。

02

我们再看位置算符：

就是乘以x本身，很简单的操作，但是我们不知道其本征态的形式，那么可以列本征方程反推：

这看起来是恒等式，似乎任何函数都是本征态？不是。

关键在于：本征值是确定的一个数 x0，所以应该写为：

这意味着 ψ(x) 只在 x=x0 处允许非零，其他地方必须为零。

所以其本征态是狄拉克函数。

此时位置确定，动量极其不确定。

位置本征态是无限尖锐的峰，集中在 x0 处。

物理上不可归一化，但作为基矢非常有用。

03

再比如哈密顿算符，它对应能量的本征方程。

对于一维自由粒子：

解得：

此为连续谱，E≥0。

给定 E，有两个态，向右和向左传播的平面波，我们称之为二重简并。

考点：

如果对于同一个本征值 （如E），存在两个或更多线性无关的本征态 ψ1,ψ2,…那么就说这个能级是简并的。

简并通常来源于系统的对称性。

如果系统具有某种对称操作，而该操作不改变能量，那么不同的态可能对应相同的能量。

比如这个例子就是自由粒子具有空间平移对称性导致的，两个态的线性叠加仍然是H（hat）的本征态，本征值同样是E：

这意味着简并子空间是一个线性空间，简并度就是这个空间的维数。

04

对于一维无限深方式阱，设其宽为L，哈密顿算符的形式不同，因为带上了势能项，此时本征方程为：

最终解得态的形式和本征值为：

显然非简并，能级谱分立。

05

对于一维线性谐振子，哈密顿算符变为：

结合第一部分波动法可知解得的本征方程：

这里的∣n⟩就是对波函数的封装，完整的波函数形式：

可以取基态形式验证，就没那么唬人。

基态下，上式变为：

对其求二阶导再加上势能的算符运算后，就能得到基态本征值，无误。

上述案例也是对之前推文的复习与回顾。

除此之外，大家可以自行探究宇称算符的本征值、角动量算符、自旋算符、粒子数算符等等，有空后期推文再展开。

回归算符的主线。

算符的“乘法”——先做这个，再做那个

从这里开始，我们就能见到矩阵的影子了，把算符视为一个矩阵。

乘法作用是有顺序的，与算符紧临的态优先被作用，然后再是左边的算符继续作用，这是从右往左的作用顺序。

量子力学里，大多数算符的乘积顺序不能交换。

也就是说，算符之间不对易。

公式如下：

做个简单类比：穿袜子，穿鞋

先穿袜子，再穿鞋，是正常人操作；

先穿鞋再穿袜子，是神人操作。

含义显然不同。

左右对换字母算符，带来的最终效果大多数情况下是不一样的，海森堡在研发这个规则时也是被震惊的，不符合经典乘法交换率，现在我们都知道这就是线性代数的基本规则而已。

考点：对易子

定义：

若对易子为0，说明中括号内两个算符对易，其对应的两个力学量可以同时测量。

反之，则不能同时测量，且存在不确定关系。

对易子=0 是 两算符有共同本征态，可同时测量的充要条件，这点后续可以证明。

对易关系也是判断守恒量、寻找共同本征态、构造升降算符的基础工具。

下面的基本性质都很好证明：

考点：基本对易关系及证明

算符作用在态上才有意义，证明时要利用这一点。

a.坐标与动量

一维情况下，下式要牢记：

证明：

观察该过程，体会算符的运算顺序。

类似地：

统一写为：

对于算符平方，我们有：

这两个式子的证明运用对易子的乘积法则即可。

对于坐标与动量函数，动量与坐标函数，我们有：

上两式的证明后期有空会补充，涉及表象与展开。

b.角动量对易关系

角动量经典力学中的定义，类似动量矩：

由叉乘坐标的算法我们不难得出以下定义。

角动量算符定义：

下面计算对易关系：

所以得到：

同理有：

三式合并相加，用矢量叉乘的形式可以写为：

还有很多可以展开，但是先回到算符主线。

态的运算——内积

内积会在之后反复用到加深理解，这里只是初步介绍。

内积是量子态之间的“点乘”，它给出概率幅、投影和长度，初学可以类比向量点乘。

量子态是复向量。

两个态 ∣ψ⟩和 ∣ϕ⟩的内积记作：

得到一个复数，而非矩阵。

在离散基下，如果：

则：

注意：左边态的系数要取复共轭。

⟨ ∣叫左矢，对其右矢的列向量转置+每一项取复共轭，即可得到其用于计算的表示形式，是行向量，其中每一项都取了复共轭。

我们称这种操作为厄米共轭，表示如下：

在连续基下，比如坐标表象：

把量子态想象成无穷维空间中的箭头。

则：

类似的，由于内积中的态已经默认归一化，相当于省去了化为单位向量的步骤，故内积具有“把一个态投影到另一个态上”的含义，内积可以衡量两个态的重叠程度。

算符的矩阵表示——基的变换

看过3blue1Brown线性代数本质课程的朋友们都知道，矩阵可以代表对向量的变换。

没听的先去听他的课，不然这些地方必然难以理解。

好，现在算符也是一种操作，一种变换，正好态可以看作矢量，这不就完美对应上了吗？

量子力学的态空间是线性空间，而量子力学的算符是线性变换，这就是为什么算符能用矩阵表示的根本原因。

前面说过：

态矢量 ∣ψ⟩ 是抽象的箭头。

算符A是抽象的黑箱。

要把它们写成具体的列向量和矩阵，就必须选一组基矢。

这组基矢，就叫做一个表象。

现在，选好一组基（比如能量本征态 ∣n⟩），就可以把算符写成矩阵。

只需要观察每一个基矢在算符下怎么变，就可以轻松地写出矩阵。

我们先用纯线性代数举例：

二维矩阵想象x-y平面直角坐标系的二维空间即可。

这个矩阵表示，把x方向的基矢逆时针旋转90°到了y轴，把y轴的基矢顺时针旋转90°到x轴的一种变换。

矩阵元就是矩阵每行每列的元素，用两个下标表示：

我们现在溯源每个量代表什么。

T11：输入第 1 个基向量 e⃗1，输出结果在第 1 个基向量方向上的分量，由于垂直，分量显然为0

巧了，都是单位向量，分量即投影，投影即内积。

T21：第2行第1列的元素，输入第 1 个基向量 e⃗1，输出结果在第 2 个基向量方向上的分量，由于重合，分量显然为1.

大家可以自行举例验证。

其他矩阵元同理类比。

所以推广得到：

量子力学的写法就是：

量子力学案例，自旋-1/2

自旋算符没有坐标表象，那它的矩阵是怎么来的？

就是从对易关系和本征值出发，纯代数地构造出来。

选定基矢：

如果已知下面两式（通过对易推出）：

求该算符的矩阵形式。

如果理解了基矢变换，不必挨个求矩阵元，我们很容易就能得到：

关于自电子的自旋算符，将在之后详细展开。

而所谓矩阵的对角化，就是用该算符的本征态作为基矢，对角矩阵的对角线元素就是本征值，非常方便，这些也都将在之后展开。

03

升降算符收尾

回到最开始的一维线性谐振子问题。

我们从其哈密顿算符入手，推出升降算符。

如果把这个式子因式分解，会有什么奇妙的东西出现吗？

对于普通数 x和 p，有恒等式：

在量子力学中，x 和 p 是算符，不对易

所以考虑对易项后得到：

两边除以 2m：

可见，哈密顿量可以“几乎”因式分解，只差一个常数项。

为了让表达式更干净，定义：

选择归一化系数，得到：

这样定义的目的是使下式成立：

从而，

升降算符在处理线性谐振子，求解力学量期望时非常有用，可以证明：

这个代数结构不依赖于谐振子，它是更一般的数学对象。

谐振子只是这个代数的一个具体实现。

限于篇幅，关于升降算符的具体应用，将放到下期推文中展开。