量子神经算子的表达优势，从何而来、止于何处？

从密度矩阵的成对特征，到可训练频率的谱对齐，再到真实量子硬件上的精度缺口

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论文原标题

Quantum neural operators with implicit quadratic frame and expressivity advantages

中文标题

具有隐式二次框架与表达能力优势的量子神经算子

作者：Ruocheng Wang、Xiaoqiu Zhong、Zhuo Xia、Junchi Yan✉

第一署名单位：上海交通大学人工智能学院（School of Artificial Intelligence, Shanghai Jiao Tong University）

发表期刊：Nature Machine Intelligence

2026年9月3日在线发表 · 2026年9月第8卷，1371–1380页 · 9月14日出版勘误

论文 DOI：10.1038/s42256-026-01289-7

开源代码：作者已公开模型、数据生成、训练评估、预训练权重与真机推理代码，并提供 Zenodo 归档；本文核对了仓库内容，未独立重跑论文实验。

作者代码仓库：https://github.com/Wang-Ruocheng/QuanONet

论文代码归档：https://doi.org/10.5281/zenodo.21084057

01 量子优势，先从重构一条函数说起

学的是一族解，而非单个解

给定一条外部驱动函数，预测它产生的整条响应曲线；换一组初始条件，直接得到新的时空解。

神经算子学习的就是这种从函数到函数的映射。

它希望把大量同类方程的求解经验压缩进模型，训练完成后，再对新的输入函数和查询坐标给出预测。

瓶颈在最后怎样组合特征

这篇论文追问的是：在相同的潜在维度下，量子结构能否提供更丰富的重构特征？经典深度算子网络 DeepONet 用分支网络把输入函数变成系数，用主干网络把输出坐标变成基函数，最后做向量点积。

固定主干后，输出被限制在这些基函数张成的线性空间里。

即便把产生系数的网络做大，也不会自动增加这个重构空间的维度。

本文的主线

作者提出量子神经算子 QuanONet，把最后的点积换成量子测量对应的矩阵内积。

它的关键不是笼统地宣称“量子空间很大”，而是让潜在振幅的成对乘积参与重构。

可训练频率版本 TF-QuanONet 则进一步学习这些乘积所对应的频率，试图让潜在容量真正落到目标解的频谱上。

从向量点积，到可观测量与密度矩阵的内积

原文 Fig. 1

架构对照中，经典模型输出系数向量与基函数向量；量子模型输出随输入变化的可观测量，以及随坐标变化的密度矩阵。

几何示意提醒我们：这些矩阵受量子态归一化和固定测量谱约束，不能把它们当作任意可调的矩阵。

表达能力来自结构化组合，也受同一结构约束。

02 同一个量子寄存器，怎样接收函数与坐标

两个模块各做什么

输入函数先在传感器位置取样，得到有限维数据。

主干层把查询坐标编码成纯量子态 t(y)，其外积构成密度矩阵 D(y)。

分支层则由输入函数控制酉变换 B(u)，通过旋转一个固定谱的测量算符，生成 M(u)。

因此，主干决定“用什么坐标特征看问题”，分支决定“输入函数怎样改变测量方向”。

为什么测量能完成重构

最终输出是 M(u) 与 D(y) 的迹内积，再加一个可训练标量偏置。

把它展开，就是用分支控制的权重组合不同振幅的成对乘积。

等价地，它也是若干跃迁概率按测量本征值加权的和。

这个写法把抽象的算子近似，与量子设备实际执行的“制备、演化、测量”接在一起。

紧凑寄存器仍要付出电路成本

实际电路在同一个寄存器中依次执行坐标编码与输入函数编码，交替使用可训练旋转门和纠缠门。

嵌入层重复次数与变分层深度分别控制数据被重新注入多少次、每次注入后进行多少可训练变换。

理论上用对数级比特数表示潜在维度，并不意味着输入装载、电路演化和重复测量的总代价也按同样速度缩小。

定理保证存在，训练还要找到

通用逼近定理说明：在紧致输入集合和紧致输出域上，对连续非线性算子，存在合适的可观测量与纯态密度矩阵，使误差任意小。

这是存在性结论，并未承诺给定浅电路、固定训练样本和某个优化器，就一定找到所需表示。

理解这层区别，才能把通用性定理与后面的有限资源实验连接起来。

03 二次框架的容量，为什么需要频谱对齐

先区分候选数与有效维度

设潜在维度为 p。

标准 DeepONet 的线性重构空间至多包含 p 个独立基函数。

QuanONet 则使用振幅与共轭振幅的乘积，候选特征空间的维度上限变为 p²。

但“有 p² 个矩阵位置”与“有 p² 个独立、相关、可被训练利用的函数模式”并不是一回事：不同乘积可能重复，也可能没有覆盖目标解最重要的变化方向。

成对乘积怎样生成差频

频率语言最直观。

若潜在振幅包含不同的复指数频率，把一个振幅与另一个的共轭相乘，会产生两者的差频。

于是，基础频率集合决定了成对差频集合。

等间隔频率之间会大量产生相同差值，表面上增加了矩阵元素，实际可用的不同频率却增长得慢。

这正是固定频率嵌入可能浪费二次结构的原因。

可训练频率减少差频重叠，让成对特征更有效

原文 Fig. 2

频率示意取潜在维度为 4：固定等间隔安排对应的密度矩阵特征空间维度为 7，特定非等间隔构造可扩展到 13。

这个例子说明减少差频重叠的机制；它不是训练后任何数据集都能达到同样覆盖率的保证。

电路图同时显示，频率选择必须通过真实的嵌入层实现。

让频率间距随任务调整

可训练频率策略把频率从预设网格中释放出来，作为连续变量与其他参数一起优化。

与其反复增加固定频率的数据重上传层来拓宽频带，不如调整基础频率间距，让差频覆盖目标函数的重要成分。

这里的收益是改善固定资源下的谱利用率；频率优化仍然是一个需要求解的非凸问题。

优势依赖目标频谱的组织方式

更强的二次级表达能力结论有明确前提。

论文讨论把最优特征函数视为傅里叶模式，并要求主要目标频谱具有受控的加法结构，即频率集合相加后不会过度膨胀。

在这样的结构下，作者证明二次框架能够覆盖与 p² 同阶的一批模式；其比例常数依赖频谱结构。

对任意算子的完全一般化结论，论文仍列为开放问题。

重构误差、优化误差与运行成本要分开

误差界还要读得更细。

经典线性重构受输出协方差特征值尾和约束；量子侧给出了包含覆盖比例和未覆盖谱能量的上下界。

只有当重要模式被有效覆盖时，额外的候选特征才会转化为更小误差。

因而不宜把定理转述成“任何方程都自动获得平方级精度提升”，也不能把表达空间的增长直接换算成运行时间加速。

04 测量算符的谱，是模型的一部分

为什么简并会损失自由度

分支层改变测量方向，却保留测量谱。

如果许多本征值相同，允许到达的酉轨道会变小，某些变化方向便无法独立调节。

非简并谱能扩大轨道的维度，但维度不是唯一因素：相同数量的自由度如何分布，也会改变训练能否找到合适的输出。

测量谱的简并性与幅值范围，共同约束表达能力

原文 Fig. 4

哈密顿量消融同时考察谱简并、泡利基选择和谱半径。

所测配置中，非简并谱整体表现较好，但中间两种谱的表现并不随轨道维度简单单调变化。

谱半径太小会限制可达输出范围；扩大到足够覆盖目标后，再放大也未继续带来明显收益。

先诊断约束，再扩容

这提供了一个实际诊断顺序：先检查输出尺度能否落入测量可达范围，再检查目标频谱是否被差频覆盖，最后讨论是否需要加深或加宽电路。

这个顺序是基于论文机制提出的编辑建议，并非作者验证过的通用调参算法。

默认基准还采用了便于硬件实现的局部泡利 Z 求和测量，其谱有简并，因此最充分的理论自由度并未在所有实验配置中直接实现。

05 六类算子说明：收益取决于问题和协议

到底学习哪些映射

常微分方程任务分别学习反导数、线性受迫响应和非线性受迫响应；偏微分方程任务则学习扩散反应中的源项响应、平流中的初值传播，以及 Darcy 流中的边界到内部场映射。

这些任务改变的是输入函数，预测的是对应的解。

它们采用数值求解器生成监督标签，并非只靠方程残差训练的物理信息模型。

先看数据与预算

训练与测试输入来自高斯随机场。

默认协议各使用 1,000 条训练函数与 1,000 条测试函数，长度尺度为 0.2；结果汇总了 5 次随机初始化和数据划分的均值与标准差。

常微分方程比较约 1,200 个参数，偏微分方程比较约 2,400 个参数。

这里“匹配”指相近的参数预算，不是参数数量逐个完全相等，更不意味着训练时间、门数与测量成本相等。

近似等参数不等于等电路：常微分方程基准配置

原文 Extended Data Table 7

常微分方程配置表把抽象的等参数对照落到电路上：原始 QuanONet 与可训练频率版本同为 1,201 个参数，但门数分别为 1,800 和 1,350；DeepONet 为 1,261 个参数。

可训练频率版本通过调整重复层数维持预算，不能把它理解为在完全相同电路上无成本地增加新参数。

六类算子上的完整误差对照：优势随任务改变

原文 Table 1

完整主表应同时看频率初值与不同任务。

固定频率 QuanONet 对初始频率尺度敏感；可训练版本显著改善了常微分方程误差，但偏微分方程并未全部胜出。

表中保留均值、标准差和全部对照，避免只挑选最有利的一列。

赢在哪里，落后在哪里

在初始频率尺度为 0.1 的配置下，反导数算子的相对二范数误差为 2.160%，DeepONet 为 5.162%；扩散反应系统为 7.196%，DeepONet 为 15.462%。

然而，平流任务中量子模型为 16.322%，高于 DeepONet 的 9.994%；Darcy 流为 6.628%，也高于 5.674%。

这些数值支持“部分算子上更有效”，不支持统一的全面优越结论。

空间误差分布揭示高频输入带来的额外困难

原文 Extended Data Fig. 1

原始场图把输入函数、真值、预测及绝对误差放在同一行，可对照扩散反应、平流和 Darcy 三类任务。

频率提高后，局部误差更明显，说明总体外观接近不等于每个位置都准确。

作者将紧凑预算下的困难联系到局部变化与宽频谱；这是解释实验的机制判断，尚不等于对所有此类问题的定量定律。

高容量对照需要另读一遍

与傅里叶神经算子 FNO 比较时，作者又采用约一万个参数，并把输入统一到 100 个传感器，以适配傅里叶变换所需的采样方式。

这是一套新的对齐协议，不能直接把其中的误差与主表相减，声称增加参数后模型反而退步或进步。

数据接口变了，比较的条件也变了。

高容量比较的参数、门数与网络配置

原文 Extended Data Table 9

高容量配置中，TF-QuanONet、DeepONet 与 FNO 的参数数分别为 10,001、9,633 和 10,005。

量子电路对应 11,250 个门。

参数规模接近有助于研究表达效率，但量子门与经典网络运算并非同一种资源，仍需单独评估端到端计算成本。

统一采样后的高容量对照：量子模型并非全面领先

原文 Extended Data Table 1

统一采样下，量子模型在反导数和线性受迫响应上误差较低；非线性任务中，其误差为 4.770%，DeepONet 为 4.040%，FNO 为 3.761%。

因此，线性任务的收益不能自动外推到非线性谱更复杂的情形，也不能据此排出脱离任务的固定优劣顺序。

06 容量实验揭示结构收益，也揭示训练难度

固定潜在维度与扩大维度，是两种不同的容量实验

原文 Fig. 3

容量实验的两个横轴要分清：一组固定潜在维度为 4，只扩大网络参数；另一组把潜在维度从 4 扩到 256，并在多种网络配置中比较最优平均表现。

纵轴是均方误差，不是主表的相对二范数误差。

误把两种指标混用，会夸大或误解精度提升。

别把重构瓶颈当成所有经典网络的瓶颈

固定潜在维度时，DeepONet 即使显著增加参数，仍出现经验误差平台；量子模型以较紧凑配置取得更低误差。

这个实验支持重构结构的重要性。

扩大潜在维度后，两类方法都能接近同一经验误差下限，而量子模型在高维设置中的波动较小。

作者据此提出结构正则化的解释，但该解释仍应与已观察到的稳定性结果分开表述。

经典替代结构仍值得对照

固定 p 的点积瓶颈针对的是这里的标准线性重构器。

若经典模型也显式增加乘积特征、更换非线性重构方式或引入谱自适应，它所面对的函数空间就会改变。

论文没有在等端到端资源下排除这些替代方案。

因此，当前证据最稳妥地支持这种量子参数化的结构收益，尚不足以把收益完全归结为经典方法无法获得的优势。

电路深度与比特数的取舍：更宽未必更好训练

原文 Extended Data Table 4

电路消融说明容量与可训练性需要一起看：所测五比特配置取得较好的折中，十比特配置并未因为状态空间更大而自动更准。

增加深度常能改善结果，但不同宽度使用的深度配置也不同，不能把表格读成“某个比特数永远最优”。

07 真机实验的价值，是把精度缺口量出来

真机做了什么

作者把一个较浅的反导数算子电路部署到 IBM 的 ibm_fez 处理器，使用两个物理比特与 10,000 次测量。

逻辑电路深度为 60，编译后物理深度为 109。

输入分别取线性函数与余弦函数，因此这是真实硬件上的小规模验证，不是完整偏微分方程基准都已在量子设备上运行。

真机保留总体曲线形状，但点值误差明显增大

原文 Fig. 5

真实设备输出仍能跟随目标解的整体弯曲趋势，但波动和偏差明显大于无噪声模拟器。

保留曲线形状说明电路没有完全失去任务信息；对需要高精度场值的微分方程求解而言，这与可直接使用的数值解仍有距离。

真机精度与编译资源的完整账单

原文 Extended Data Table 5

完整硬件表给出更明确的尺度：线性输入的相对误差由模拟器的 5.498% 增至真机的 40.247%；余弦输入由 3.841% 增至 32.168%。

编译后总门数从 100 增到 194。

硬件表现因此应称为定性概念验证，不能用无噪声基准精度替代实际设备精度。

区分误差缓解与容错纠错

方法段说明实验使用了包含测量误差缓解在内的处理流程，而讨论部分又采用了未纠错硬件噪声的表述。

准确的理解应是：测量误差缓解不等于容错量子纠错，现有处理并未消除显著精度缺口。

这里不把实验写成“完全没有任何噪声处理”，也不把缓解措施误写成已经实现容错。

从表达能力走向实用性的下一步

接下来最有价值的验证，是把频谱覆盖、优化误差与硬件误差分开测量：在已知谱结构的目标上检查理论条件怎样影响精度，在局部尖锐响应上测试频率优化是否稳定，并在同等目标误差下统计训练、推理和测量总成本。

只有这些环节连起来，表达优势才可能进一步转化成科学计算中的实际收益。

AI 模拟审稿

结构贡献清楚，实际优势仍需分层验证

① 优点

把量子测量写成可观测量与密度矩阵的内积，清楚揭示了振幅乘积如何扩展重构空间；可训练频率又把谱冗余问题转化为可优化的结构选择。

理论、频率消融、完整基准与真机结果形成了相互呼应的证据链。

② 局限

更强表达界依赖特定谱结构，有限电路未必实现全部候选模式；局部宽频响应仍有困难，且参数匹配不足以说明端到端成本优势。

真机噪声进一步限制点值精度，目前更适合作为结构性概念验证。

③ 下一步启示

引入具有乘积特征或自适应频谱的经典重构器作为对照，分别量化表示、训练与测量误差；再在同等精度目标下比较总成本，有助于确定这种量子结构最值得部署的任务范围。