一个数学家能有多“抽象”？他研究如何区分高维空间的“足球”和“甜甜圈”
有人打趣拓扑学家分不清咖啡杯和甜甜圈，因为咖啡杯的把手是一个洞，甜甜圈也有一个洞。
在拓扑学家眼中，这两样东西本质一样，咖啡杯可以慢慢捏成甜甜圈，而没有洞的足球怎么捏都捏不成甜甜圈。
复旦大学上海数学中心教授王国祯研究的，正是如何区分几十维甚至上百维空间里的“足球”和“甜甜圈”。
“我们可以想象一下”，这是王国祯的口头禅。
三维球面就超出了很多人的想象，更不要说高维空间了。
“球面稳定同伦群”问题被称为代数拓扑的“圣杯”之一，一个世纪以来，学界将计算艰难地推进到了59维。
王国祯与合作者不仅迈过了61维这个“坎”，解决了广义庞加莱猜想在奇数维情形的最后一个问题，还将计算推进到了90余维。
今天（7月8日），王国祯以第一完成人获颁国家自然科学奖二等奖。
【跻身全球第一梯队】
“假设有一天汽车的轮胎破了，但我手头只有一个足球，我永远也无法把足球塞进轮胎里当内胎。
”王国祯用这个比喻进一步解释他的研究——如何区分不同的拓扑空间。
而稳定同伦群是研究这一问题的主要工具之一。
球面稳定同伦群之所以被称为“圣杯”，是因为同伦群是不变量，而球面是最基础的空间，对球面同伦群的研究是验证同伦群研究方法的试金石，其方法可推广至其他空间。
“同伦群”到底是什么？“你可以想象一根橡皮筋绕在手腕上，研究‘本质上有多少种不同的绕法’，就是同伦群在做的事。
”王国祯说。
由于高维空间无法依赖几何直觉，数学家往往通过将对象转化为抽象的数学语言或代码，再提取本质特征进行代数研究。
王国祯与合作者最重要的突破，是证明了61维球面微分结构的唯一性。
目前研究已覆盖至约120维，其中90维以内的结果较为完整。
对于这一前沿研究，美国科学院院士霍普金斯教授等人评价是“非凡的努力”，德国科学院院士莱文教授称之为“美妙的推论”。
2022年，王国祯与合作者徐宙利应邀在国际数学家大会作45分钟报告，标志着我国青年学者跻身全球代数拓扑研究第一梯队。
【灵感不会凭空降临】
当初为何选择这道难题？
“数学里所有未解问题都很难，有些问题我完全没有思路，选择它是因为大概知道从哪下手。
”王国祯坦言。
即便如此，这一突破也历时4年之久。
王国祯与合作者们有时候每天打一个电话，“我们一直在很辛苦地算，不断地尝试各种不同的想法，有时甚至用穷举法一个个试，但不断地失败。
我躺在床上都在想，究竟是哪里出了问题？”
灵感不会凭空降临。
“数学是很基础的学科，需要学习很多知识，才可能出现一瞬间的灵感。
当然，也会有长时间没有灵感的时候，也是很郁闷的。
这时候就需要扩展自己的知识面，才可能产生新的灵感。
”王国祯说。
如今，王国祯又把目光同时投向了看似没有规律、难度更大的“不稳定同伦群”。
【数学像是生活的背景】
41岁的王国祯，从小就沉迷于计算，至今对于庞杂的计算仍乐在其中。
在他看来，数学的优美就在于从杂乱无章中找到秩序。
有不少学生说，只要和王国祯聊到数学，就会感觉到他发自内心的快乐。
对于他而言，数学就像是生活的背景，已成为生活中不可或缺的一部分，无法截然分开，只要一有空他可以随时随地思考数学。
王国祯多年来保持着一个习惯——带着问题去散步，尤其喜欢在空旷环境中整理思路，他笑言：“我在夏天的研究效率通常比冬天高，因为冬天太冷散步时间更短。
”
不研究数学的时候，王国祯总是喜欢陪伴着两个年幼的孩子。
尽管他期待孩子们长大后也成为数学家，但他表示不会去“鸡娃”，因为数学研究需要强烈的兴趣，“鸡娃”容易破坏兴趣。
数学家是否会被AI取代？王国祯对此表示并不担心，“数学家反而变得更多了。
”他正在尝试用AI辅助数学研究。
最初证明61维球面微分结构的唯一性时，他与合作者写了一个4页纸的逻辑框架，然后花了一年多时间把所有细节补全，扩容到了40多页。
“如果当初AI能把繁琐的逻辑证明补全，就能快速推进我们的研究。
”
英国数学物理学家罗杰·彭罗斯在《通向实在之路》中画过一张图：数学世界无比浩瀚，只有其中一小部分能投射到现实物理世界；物理世界中，又只有一小部分能产生人类思维；而人类思维中，能反向捕捉、还原出数学结构的，更是微乎其微。
王国祯做的，正是那“微乎其微”的事。
而他此刻大概在某个空旷之地，一边散步，一边想着高维空间里的“足球”和“甜甜圈”。
希勒：C罗本该拥有梅西那样的体面告别，职业足球无法承诺你能出场
在足球的舞台上，传奇球员的谢幕往往伴随着荣耀与泪水。然而，对于克里斯蒂亚诺·罗纳尔多而言，他的职业生涯似乎并未以他应有的方式结束。
近日，英格兰传奇前锋阿兰·希勒在其专栏中深刻剖析了C罗近期退出国家队集训营的争议，指出他如今的竞技状态已不如往昔，且未向主教练道歉，这让希勒感慨万千。
希勒开篇就指出，C罗如今的行为对其个人形象造成了严重损害。
“他从头到尾都没有向主教练道歉。
”希勒坦言，看到C罗的现状让人心痛。
作为曾经的超级巨星，C罗的巅峰期是现象级的，但如今的他显然已经不再是那个强悍的球员。
希勒提到：“人最难接受的，就是自己的巅峰期已经过去了。
”这种落差是每位运动员都必须面对的现实，希勒也曾经历过这样的阶段。
在谈到C罗的情况时，希勒表示，虽然C罗依然能够进球，但他必须明白，职业足球的局势瞬息万变，教练的决定并不总是可以预见的。
“90分钟的足球比赛里，没有什么是板上钉钉的。
”这句金句道出了职业足球的残酷，C罗不能仅仅依靠过去的辉煌来保证自己的出场时间。
希勒还提到，C罗提前离场并在事后发表声明的行为，对他的形象造成了进一步的损害。
尽管他向队友和球迷道了歉，但声明中却没有对主教练表示歉意，这让希勒感到遗憾。
“我只觉得挺唏嘘的。
”希勒如是说。
他希望C罗能够以更体面的方式结束自己的职业生涯，正如梅西在代表阿根廷出战时所展现的那样。
回顾两位时代传奇的职业生涯末期，希勒感慨道：“我们这个时代的两位足坛传奇都即将走向职业生涯终点，收尾的方式却天差地别。
”梅西最近代表阿根廷出战，赢得了诸多赞誉，而C罗的处境则显得有些尴尬。
希勒指出：“这太遗憾了，因为C罗本该拥有梅西那样的体面告别。
” 虽然C罗在沙特联赛依然能够进球，但希勒认为，岁月是无情的，最终无人能逃避。
他对C罗的决心和敬业精神表示钦佩，但现实是，C罗必须接受他已不再是当年的自己。
在这个充满竞争的职业足球世界里，C罗的故事不仅仅是一个运动员的传奇，更是关于如何面对职业生涯终结的深刻思考。
希勒的点评让我们意识到，无论多么伟大的球员，最终都难以逃脱时间的束缚。
希望C罗能够在职业生涯的最后时光，找到属于自己的体面告别，而不是被争议和遗憾所笼罩。
末日就在下个月13号？66年前《科学》论文的惊人预言与真正启示
要是告诉你，有一份顶尖学术期刊白纸黑字预言过人类的＂末日时刻＂，而这个时刻就在今年11月13日——离现在也就两个来月，你信吗？这不是街头小报的噱头，而是1960年11月发在《科学》杂志上的一篇正经论文。论文的主笔叫海因茨·冯·福斯特，奥地利维也纳人，二战后到美国落脚，在伊利诺伊大学做物理和控制论研究。
跟他署名的还有两位同事，一位叫莫拉，一位叫阿米奥特，都是电气工程系的。
三个搞工程的人跑去算全人类的＂寿命＂，光这个画面就够奇怪。
他们的办法说起来也不复杂。
手头攥着过去两千年里断断续续的二十几个人口数据，画成一条线，用方程去套。
套出来的曲线不是普通的那种慢慢上翘，而是在某一天突然冲上天——分母变成零，人口数值直奔无穷大。
那一天，就是2026年11月13日。
为什么偏偏挑这个日子？这里面藏着点小玩笑。
11月13日，是冯·福斯特自己的生日。
那天如果他还活着，正好115岁。
再加上这天恰逢西方人忌讳的＂黑色星期五＂，整件事看起来就像一位老派科学家对自己开的黑色玩笑。
他年轻时在维也纳还登台变过魔术，骨子里确实有戏剧细胞。
要理解他的推算，关键是分清两种＂猛＂。
一种叫指数增长，比方说每年涨2%，看起来一年翻一截，可增长速度本身是固定的，再怎么滚也到不了无穷。
另一种叫双曲线增长，连增长速度自己都在加速。
打个比方，一辆车不仅在跑，油门还被人越踩越深，总有一刻突破极限。
冯·福斯特那套公式玩的就是后一种。
背后的逻辑听起来还挺有道理：人多了，脑子多，发明多，粮食和医药跟着往上走，又养得起更多人。
只要这个循环不被打断，终点必然撞墙。
他把这面墙的日期算到了小数点以后，精确到了那个星期五。
论文一出，学界的反应用现在的话讲叫＂炸锅＂。
有人口学家写信到编辑部，说这是＂数学游戏＂，不值得当真。
冯·福斯特不服气，一一回信辩驳。
几个来回下来，这场笔战反倒给这篇论文做了最好的广告，让它在往后几十年里被人反复翻出来说。
七八十年代，实际人口和他方程算出来的数字差不多能对上，有时候甚至稍微偏低一点。
真正开始脱轨，是进入九十年代以后。
实际人口数一年比一年落在公式后面，差距越拉越大，到今天已经完全不是一回事了。
把今天的现实套回那条曲线会怎样？按1960年那套方程推到2024年，全球人口得有七百多亿。
而联合国在《世界人口展望》里给出的真实数字，是82亿多一点。
到2026年中，这个数字大致爬到83亿。
一个预测，一个实况，中间差了快十倍。
曲线没有一直冲上天，是因为生在曲线里的人，自己变了。
生活好了，城市大了，女性读书的多了，避孕也普及开，愿意多生的家庭越来越少。
更关键的是，婴儿不再轻易夭折，老一辈人靠＂多生几个保险＂的那套盘算，自然而然就淡了。
日本、韩国、意大利这几个国家的生育率长年在一点出头徘徊，年轻人越来越少，老人越来越多。
中国的总人口也从几年前开始出现下降。
联合国的新版预测认为，全球人口大概会在本世纪八十年代前后触顶，大约103亿左右，之后慢慢往下走。
说回那位冯·福斯特本人，他真以为世界会在2026年玩完吗？翻一翻当年的采访就知道了，1960年11月那期《时代》周刊里他讲得挺清楚：没人指望66年后真会出现无穷大的人口，这个公式本质上是一记重锤——按老路子走下去，撞墙是迟早的事。
他本来就是控制论的开山人物之一，关心的是整个人类社会这台＂大机器＂能不能自己调节。
数学算出＂无穷大＂，等于在明晃晃地告诉所有人：这条路走到头是死胡同。
至于最后是人类主动踩刹车，还是让饥荒、瘟疫、生态灾难替人踩，那是另一回事。
这篇论文真正留下来的东西，不是那个具体日期，而是那句＂增长不可能永远持续＂。
十几年后，罗马俱乐部那份轰动全球的《增长的极限》报告，走的其实是同一条思路。
两边想说的都是：数学里的曲线可以画到天上，现实世界的资源却是有底的。
对2026年的我们来说，这件旧事更像一面镜子。
把今天的数据画成一根线，然后顺着这根线使劲往后延伸，是最省事也最唬人的预测方式。
眼下关于人工智能几年后＂全面超越人类＂的论断、关于气候灾难时间表的推演、关于房价和经济的各种长周期判断，骨子里用的都是同一招。
现实偏偏不走直线。
人会变主意，技术会开新门，政策会拐大弯。
1960年那条凶巴巴往上冲的曲线之所以没冲到底，不是因为方程算错了，是因为活在方程之外的人，自己改了剧本。
这才是最该琢磨的地方。
